ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β
ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
62.σχηματισμός κλασμάτων
καθώς επαναλαμβάνουμε την αρχική μονάδα διαμορφώσαμε τους ακέραιους αριθμούς, παρομοίως μπορούμε να μορφώσουμε και άλλο είδος αριθμών επαναλαμβάνοντας, μια φορά ή πολλές φορές το μισό το τρίτο το τέταρτο το πέμπτο ή εν γένει ένα πολλοστό μέρος της μονάδας πχ τρία τέταρτα, πέντε όγδοα
Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται κλάσματα.
63.
Η ιδέα λοιπόν του κλάσματος περικλείει το είδος των μερών δηλαδή σε πόσα μέρη είναι διαιρεμένος ο ακέραιος και πόσα μέρη από αυτά -το πλήθος δηλαδή- περιέχει το κλάσμα. Έτσι για να εκφράσουμε αυτά απαιτούνται δυο αριθμοί ο μεν για να εκφράσει το είδος ο δε για να εκφράσει το πλήθος. Ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος μπαίνει από πάνω και ονομάζεται αριθμητής αριθμεί πόσες μονάδες έχουμε. Ο αριθμός που εκφράζει το είδος μπαίνει από κάτω από μια γραμμή που δείχνει το κλάσμα και λέγεται παρονομαστής. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος ονομάζονται όροι του κλάσματος.
πχ σε ένα κλάσμα έξι έβδομα γράφεται 6/7 ή
6
7
ο έξι 6 είναι ο αριθμητής και ο επτά 7 είναι παρονομαστής
και οι δύο μαζί όροι του κλάσματος ενώ η μονάδα εδώ είναι το 1/7
64.
Για να διαιρέσουμε ακέραιο με άλλον ακέραιο
πχ τον 5 με τον 8 παρατηρούμε ότι επειδή ο διαιρετέος είναι ίσος με
1+1+1+1+1=5
8 8 8 8 8 8
δηλαδή κλάσμα του οποίου αριθμητής μεν είναι ο διαιρετέος, παρονομαστής δε ο διαιρέτης. Οπότε κάθε κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί και ως πηλίκο στο οποίο ο μεν αριθμητής αποτελεί τον διαιρετέο, ο δε παρονομαστής τον διαιρέτη.
65.Γνήσιο κλάσμα
Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μικρότερος του παρονομαστή το κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας και ονομάζεται γνήσιο
πχ 3/4 και 5/8
όταν δε ο αριθμητής είναι ίσος ή μεγαλύτερος του παρονομαστή, το κλάσμα είναι ίσο ή μεγαλύτερο της μονάδας και ονομάζεται νόθο κλάσμα επειδή στην ουσία είναι ακέραιος γραμμένος σαν κλάσμα.
Βρίσκουμε δε τον ακέραιο που παριστάνει αν κάνουμε τη διαίρεση
πχ 12/6=2 , 15/3=5
66.Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλάσματος με ακέραιο.
Εάν τον αριθμητή κλάσματος τον πολλαπλασιάσουμε ή τον διαιρέσουμε με ακέραιο αριθμό το κλάσμα που θα προκύψει θα είναι αντίστοιχα τόσες φορές μεγαλύτερο ή μικρότερο όσες μονάδες έχει ο πολλαπλασιαστής ή ο διαιρέτης αντίστοιχα:
πχ έστω ότι πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του κλάσματος 1/7 με το 2,3,4,5,6 τότε
(1x6)/7=6/7
(1x5)/7=5/7
(1x4)/7=4/7
(1x3)/7=3/7
(1x2)/7=2/7
επειδή το είδος των κλασμάτων που προκύπτουν έτσι είναι
είναι 2,3,4,5,6 φορές μεγαλύτερα διότι το είδος των μερών μένει το ίδιο και μόνο το πλήθος του γίνεται διπλάσιο τριπλάσιο κτλ
Το αντίστοιχο γίνεται όταν ο αριθμητής του κλάσματος διαιρεθεί πχ
(6:6)/7=1/7
(6:3)/7=2/7
(6:2)/7=3/7
τα κλάσματα που προκύπτουν είναι αντίστοιχα 6,3,2 φορές μικρότερα αφού μένει το ίδιο το είδος των μερών ενώ διαιρείται το πλήθος του.
67.Εάν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε το κλάσμα γίνεται όσο μικρότερο ή μεγαλύτερο, όσες μονάδες θα έχει ο πολλαπλασιαστής ή ο διαιρέτης
πχ εάν πολλαπλασιάσω τον παρονομαστή του 5/6 πολλαπλασιάσω επί 2,3,4,5 κτλ
τα κλάσματα που προκύπτουν
5/12, 5/18, 5/24, 5/30
θα είναι 2,3,4,5 φορές μικρότερα του 5/6
αντίστοιχα αν διαιρέσω το παρονομαστή του 5/30 με το 2,3,5 θα γίνει το κλάσμα 2,3,5 μεγαλύτερο
5/(30:2)=5/15
5/(30:3)=5/10
5/(30:5)=5/6
Αυτό γίνεται επειδή πολλαπλασιαζόμενος ο παρονομαστής διαιρείται πολλαπλάσια ο αριθμητής επομένως συνολικά γίνεται αντίστοιχες φορές μικρότερο το πηλίκο της διαίρεσης που παριστάνει το κλάσμα.
Αντίθετα αν διαιρεθεί ο παρονομαστής σημαίνει ότι μικραίνει ο παρονομαστής άρα η διαίρεση που παριστάνει το κλάσμα έχει μεγαλύτερο πηλίκο δηλαδή ο μικρότερος διαιρέτης χωράει περισσότερες φορές στο διαιρετέο.
Συνολικά λοιπόν το κλάσμα μεγαλώνει όσες φορές μικραίνει ο παρονομαστής.
68.με ποιές πράξεις ένα κλάσμα μένει το ίδιο
Από τα προηγούμενα έπεται ότι εάν και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό η αξία του κλάσματος δεν μεταβάλλεται
πχ 4/5=8/10
διότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιάστηκε με το δύο και έτσι δια της πρώτης πράξης αυξήθηκε όσο μίκρυνε με τη δεύτερη.
Ομοίως 4/10=2/5
διότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρέθηκε με το δύο και έτσι δια της πρώτης πράξης μίκρυνε όσο αυξήθηκε με τη δεύτερη.
Κάθε κλάσμα λοιπόν μπορούμε να το εκφράσουμε με πολλούς και διάφορους τρόπους
πχ 3/5=6/10=9/15=12/20=15/25
69.μετατροπή ακεραίου σε κλάσμα νόθο
Καθώς μετατρέπουμε νόθο κλάσμα σε ακέραιο, διαιρώντας τον αριθμητή δια του παρονομαστή μπορούμε και ακέραιο να μετατρέψουμε σε νόθο κλάσμα πολλαπλασιάζοντας τον με κλάσμα που είναι ο αριθμητής ίσος με τον παρονομαστή είναι δηλαδή ο ένα 1 αλλιώς γραμμένος
πχ 3 x 7/7=21/7
Πριν εκθέσουμε τις τέσσαρες θεμελιώδεις πράξεις των κλασμάτων θα δείξουμε δυο μεταμορφώσεις τους που προαπαιτούνται.
70. Αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή
Για να φέρουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή είτε για να τα κάνουμε ομοειδή, πολλαπλασιάζουμε τους παρονομαστές ανά ένα με τέτοιους αριθμούς, ώστε να αποτελούν ίσα γινόμενα .
Με τους ίδιους δε αριθμούς πολλαπλασιάζουμε και τους αριθμητές, για να μη μεταβάλλεται η αξία των κλασμάτων.
Αυτό γίνεται με τους εξής τρόπους:
1.Αν οι παρονομαστές διαιρούν όλοι ακριβώς τον μέγιστο αυτών, εκτελούμε όλες τις διαιρέσεις και βρίσκουμε πηλίκα με τα οποία πολλαπλασιάζουμε ώστε να έχουμε έναν τον ίδιο παρονομαστή σε όλα τα κλάσματα
πχ 1/2, 2/3, 3/4, 5/8, 11/24
ο 24 είναι διαιρετέος με όλους και τα πηλίκα είναι 12, 8, 6, 3, 1 έτσι πολλαπλασιάζουμε το κάθε κλάσμα με το αντίστοιχο πηλίκο
1/2x12=12/24
2/3x8=16/24
3/4x6=18/24
5/8x3=15/24
11/24x1=11/24
2.Αν οι παρονομαστές δεν διαιρούν όλοι ακριβώς το μέγιστο από αυτούς βρίσκουμε ένα πολλαπλάσιο του, η ύστατη λύση οδηγεί στον πολλαπλασιασμό όλων μεταξύ τους.
πχ για τα κλάσματα: 1/5 , 2/3 , 4/7 έχουμε 1/5x3x7=21/105
2/3x7x5=70/105
4/7x3x5=60/105
71.Αναγωγή των κλασμάτων στους ελάχιστους όρους
Με την πράξη αυτή μετατρέπουμε τα κλάσματα σε απλούστερα και άρα πιο ευκολομεταχείριστα στους διάφορους υπολογισμούς. Για να γίνει αυτό πρέπει να γνωρίζουμε όλους τους κοινούς παράγοντες και του αριθμητή και του παρονομαστή
72.εύκολη ανακάλυψη κοινών παραγόντων
Ενίοτε ανακαλύπτονται κοινοί παράγοντες χωρίς κόπο όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται ακριβώς:
1.δια δύο 2 εάν είναι και οι δύο άρτιοι
2.δια 3 ή δια 9 εάν το άθροισμα όλων των ψηφίων του αριθμητή και αντίστοιχα του παρονομαστή διαιρούνται με τον τρία 3 ή τον εννιά 9.
3.δια 4 εάν τα προς τα δεξιά δύο ψηφία διαιρούνται δια 4 επειδή εκατοντάδες χιλιάδες και πολλαπλάσια τους διαιρούνται με το 4.
4.δια του 5 εάν το τελευταίο ψηφίο είναι 5 ή 0
5.δια του 6 εάν είναι άρτιος που διαιρείται με το τρία επειδή 6=2χ3
6.δια 8 εάν τα τρία τελευταία ψηφία αποτελούν αριθμό διαιρετό με το 8 διότι οι χιλιάδες και τα πολλαπλάσια τους διαιρούνται με το 8.
7.δια 10, 100, 1000 κλπ εάν προς τα δεξιά έχει ένα δύο τρία κλπ μηδενικά.
73.Η δύσκολη ανακάλυψη κοινών παραγόντων
Επειδή δεν μπορούμε εύκολα να γνωρίσουμε όλους τους κοινούς παράγοντες δύο αριθμών, βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή [παρ.61] με τον οποίο διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή καθιστώντας το απλούστατο.
πχ για το κλάσμα 63460/612108 εργαζόμαστε ως εξής:
Καταρχήν ο εμφανής κοινός διαιρέτης είναι το 4 και μετά το 9 οπότε κι ο 4χ9=36 εξαλείφουμε λοιπόν αυτούς από το κλάσμα διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το 36 έτσι το κλάσμα απλοποιείται σε
1735/17003
Έπειτα ζητάμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη του 1735 και του 17003 και διαιρώντας τον ένα με τον άλλο και το πηλίκο με υπόλοιπο της διαίρεσης τους στη συνέχεια, οπότε προκύπτει μέγιστος κοινός διαιρέτης ο 347.
Στη συνέχεια διαιρούμε με το μέγιστο κοινό διαιρέτη και τον αριθμητή και τον παρονομαστή και προκύπτει
το κλάσμα 5/495
74.πρόσθεση κλασμάτων
Τα προσθετέα κλάσματα πρέπει να είναι του αυτού είδους έτσι εάν αυτά έχουν άνισους παρονομαστές τα ανάγουμε πρώτα στον ίδιο παρονομαστή και έπειτα αθροίζουμε τους αριθμητές, υπό το άθροισμα τους βάζουμε παρονομαστή τον κοινό παρονομαστή.
Έτσι έχουμε το κλάσμα που και το άθροισμα της πρόσθεσης των αριθμητών των κλασμάτων είναι αριθμητής και παρονομαστής ο κοινός.
πχ (1/2)+(2/3)=(3/6)+(4/6)=(3+4)/6=7/6
75.Πρόσθεση κλάσματος με ακέραιο
Όταν πρόκειται να προσθέσουμε ακέραιο με κλάσμα, μετατρέπουμε τον ακέραιο σε νόθο κλάσμα πολλαπλασιάζοντας τον ακέραιο με τον παρονομαστή του προσθετέου κλάσματος και το γινόμενο το βάζουμε αριθμητή με παρονομαστή τον κοινό πλέον του προσθετέου κλάσματος.Έχουμε έτσι ένα νόθο κλάσμα που είναι μια διαφορετική γραφή του ακέραιου.
Έπειτα προσθέτουμε τα δύο κλάσματα όπως περιγράφηκε
πχ 2+(1/2)=[(2χ2)/2]+(1/2)=(4/2)+(1/2)=(4+1)/2=5/2
76.Πρόσθεση μικτών αριθμών
Όταν θέλουμε να προσθέσουμε μικτούς αριθμούς πρώτα προσθέτουμε τους ομοειδής μεταξύ τους [ακέραιο με ακέραιο κλάσμα με κλάσμα] και μετά τους κάνουμε όλους ομοειδή κλάσματα.
Τέλος προσθέτουμε τα ομοειδή κλάσματα όπως προηγουμένως.
πχ 2(1/2)+5(3/5)=2+5+[(1/3)+(3/5)]=7+[(5/10)+(6/10)]=7+(11/10)=(70/10)+(11/10)=(70+11)/10=81/10
ή 8(1/10)
77.αφαίρεση κλάσματος από κλάσμα
Για να αφαιρέσουμε κλάσματα τα κάνουμε ομοειδή όπως στην πρόσθεση.
Αφαιρούμε μετά αριθμητή από αριθμητή και η διαφορά μπαίνει αριθμητής ενώ βάζουμε παρονομαστή τον κοινό τους παρονομαστή.
πχ(10/6)-(2/5)
=(50/30)-(12/30)=(50-12)/30=38/30
ή 1 8/30
78.αφαίρεση κλάσματος από ακέραιο
Προαπαιτείται να γίνουν ομοειδή κλάσματα άρα ο ακέραιος μετατρέπεται σε νόθο κλάσμα.
Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν τον ακέραιο γραμμένο σαν κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα.
Πολλαπλασιάζουμε με το παρονομαστή του κλάσματος αριθμητή και παρονομαστή[μονάδα]και έτσι προκύπτει νόθο ομοειδές κλάσμα.
Έπειτα αφαιρούμε από τον αριθμητή του πρώτου και τη διαφορά τη βάζουμε αριθμητή σε κλάσμα με κοινό παρονομαστή κι έχουμε το κλάσμα διαφορά από την αφαίρεση.
πχ 5-(10/11)=(5/1)-(10/11)=(55/11)-(10/11)= (55-10)/11=45/11
ή 4 1/11
79.αφαίρεση μικτών αριθμών
Όταν ο μειωτέος και ο αφαιρετέος είναι μικτοί αριθμοί τους μετατρέπουμε σε ομοειδείς αφού αφαιρέσουμε τα ομοειδή μέρη τους ακέραιο από ακέραιο και τρέψουμε το υπόλοιπο
σε ομοειδή γνήσια ή νόθα κλάσματα.
80.Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Τρεις περιπτώσεις πρέπει να διακρίνουμε στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων
1.κλάσμα πολλαπλασιαζόμενο με ακέραιο, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και αφήνουμε απείραχτο τον παρονομαστή.
2.κλάσμα πολλαπλασιαζόμενο με κλάσμα.
Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές μεταξύ τους και το γινόμενο τους γίνεται αριθμητής κλάσματος με παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών μεταξύ τους.
πχ 3/4 x 5/6=(3x5)/(4x6)=15/24
για τούτο αν ο πολλαπλασιαστής είναι γνήσιο κλάσμα το γινόμενο είναι μικρότερο του πολλαπλασιαστέου.
Σημείωση.
Την ιδέα του πολλαπλασιασμού καθώς και κάθε άλλης επιστημονικής λέξεως δεν πρέπει να την αναζητήσουμε αποκλειστικά στη σύνθεση και σημασία της λέξεως του ονόματος της (η οποία καθεαυτή για τον πολλαπλασιασμό σημαίνει αύξηση), αλλά από στον ορισμό της επειδή με τη πάροδο του χρόνου επεκτείνεται η έννοια και σε τομείς που δεν καλύπτει το αρχικό όνομα της πχ πολλαπλασιασμός κλασμάτων σημαίνει πολλαπλασιασμός διαιρέσεων οπότε στην ουσία ο πολλαπλασιαστέος είναι διαιρετέος.
Στη παρούσα βέβαια περίπτωση ο πολλαπλασιασμός γνήσιων κλασμάτων στην ουσία σημαίνει ''αύξηση διαίρεσης'' οπότε δικαιολογημένα είναι ο πολλαπλασιαστέος μικρότερος του γινομένου.
3.μικτός επί μικτό αριθμό.
Το ευκολότερο είναι να αθροίσουμε κάθε ακέραιο με το κλάσμα του και μετά να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα.
πχ 4 (5/6) Χ 5(2/3)=29/6 Χ 17/3=493/18=27(7/13)
81.διαίρεση κλασμάτων
τέσσερις περιπτώσεις πρέπει να διακρίνουμε στην διαίρεση των κλασμάτων
1.διαίρεση κλάσματος με ακέραιο
συνεχίζεται
